Question

在正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足

AE

EB

=

CF

FA

=

CP

PB

=

1

2

，将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B，A₁P．
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取BE的中点D，连接DF．说明∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角，证明二面角A₁-EF-B为直二面角，证明A₁E┴平面BEF，即可证明A₁E⊥平面BEP；
（2）建立空间直角坐标系，求出

EA1

，平面A₁BP的法向量

n1

，利用cos＜ 

n1

，

EA1

＞=

n1 • EA1

| n1 |•| EA1 |

，求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

解答：解：不妨设正三角形的边长为3．
（1）在图1中，取BE的中点D，连接DF．
∵

AE

EB

=

CF

FA

=

CP

PB

=

1

2

，AF=AD=2，又∠A=60°，△ADF为正三角形．
又∵AE=ED=1，
∴EF┴AD，
∴在图2中有A₁E┴EF，BE┴EF．
∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角．
∵二面角A₁-EF-B为直二面角，
∴A₁E┴BE
又∵BE∩EF=E，
∴即A₁E┴平面BEF，即A₁E┴平面BEP
（2）由（1）可知，A₁E┴平面BEP，BE┴EF，建立坐标系则E（0，0，0），A₁（0，0，1），（2，0，0），
F（0，

3

，0），D（1，0，0），不难得出EF∥DP且EF=DP，DE∥EP且DE=FP．
故P点的坐标为（1，

3

，0），
∴

A1B

=(2，0，-1)，

BP

=(-1，

3

，0)，

EA1

=(0，0，1)
设平面A₁BP的法向量

n1

=（x，y，z），
则

A1B • n1 =2x-z=0 BP • n1 = 3 y-x=0

∴

n1

=(3，

3

，6)．
∴cos＜n1，

EA1

＞=

n1• EA1

|n1|•| EA1 |

=

3

2

∴A₁E与平面A₁BP所成角的大小为

π

3

．

点评：本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，考查计算能力，空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．