Question

9．设f（α）=sinⁿα+cosⁿα，n∈{n|n=2k，k∈N₊}
（I）分别求f（α）在n=2，4，6时的值域；
（Ⅱ）根据（I）中的结论，对n=2k，k∈N₊时f（α）的取值范围作出一个猜想（只需写出猜想，不必证明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=2时，由平方关系求得f（α）=1，得到f（α）的值域为{1}；当n=4时，把f（α）变形可得f（α）=$1-\frac{1}{2}si{n}^{2}2α$，得f（α）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]；当n=6时，f（α）=$1-\frac{3}{4}si{n}^{2}2α$，f（α）的值域为[$\frac{1}{4}$，1]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论猜想，当n=2k，k∈N^*时，$\frac{1}{{2}^{k-1}}≤f（α）≤1$．

解答 解：（Ⅰ）当n=2时，f（α）=sin²α+cos²α=1，∴f（α）的值域为{1}；
当n=4时，f（α）=sin⁴α+cos⁴α=$（si{n}^{2}α+co{s}^{2}α）^{2}-2si{n}^{2}αco{s}^{2}α=1-\frac{1}{2}si{n}^{2}2α$，
此时有$\frac{1}{2}≤$f（α）≤1，∴f（α）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]；
当n=6时，f（α）=sin⁶α+cos⁶α=（sin²α+cos²α）（sin⁴α+cos⁴α-sin²αcos²α）
=$1-3si{n}^{2}αco{s}^{2}α=1-\frac{3}{4}si{n}^{2}2α$，
此时有$\frac{1}{4}≤$f（α）≤1，∴f（α）的值域为[$\frac{1}{4}$，1]．
（Ⅱ）由以上结论猜想，当n=2k，k∈N^*时，$\frac{1}{{2}^{k-1}}≤f（α）≤1$．

点评 本题考查三角函数最值的求法，考查三角函数的值域，训练了同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．