Question

19．不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}≥m$对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是m≤2．

Answer 1

分析 不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}≥m$对任意实数x都成立?（3-m）x²+（2-m）x+（2-m）≥0．对任意实数x都成立，对m分类讨论即可得出．

解答 解：不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}≥m$，化为（3-m）x²+（2-m）x+（2-m）≥0．
∵不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}≥m$对任意实数x都成立，
∴（3-m）x²+（2-m）x+（2-m）≥0．对任意实数x都成立，
当m=3时，化为x+1≤0，不满足要求，舍去；
当m≠3时，变形满足$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{△=（2-m）^{2}-4（3-m）（2-m）≤0}\end{array}\right.$，解得：m≤2．
故答案为：m≤2．

点评 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．