【题目】已知函数,其中
为常数.
(1)判断函数的单调性并证明;
(2)当时,对于任意
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)根据函数单调性的定义证明即可(2)当时,
,则
,∴函数
是奇函数,对于任意
,不等式
恒成立,等价为对于任意
,不等式
恒成立,即
,在
恒成立,即
,在
恒成立,设
,则等价为
即可.讨论轴与区间的位置关系求最小值即得解.
试题解析:
(1)函数在
上是增函数.
证明如下:
任取,
,且
,
则,
∵,∴
,
,
,∴
,
∴,∴函数
在
上是增函数.
(2)由(1)知函数在定义域上是增函数,当时,
,则
,
∴函数是奇函数,
则对于任意,不等式
恒成立,
等价为对于任意,不等式
恒成立,
即,在
恒成立
即,在
恒成立,
设,则等价为
即可.
即,
当,则函数
的最小值为
,得
,不成立,
当,则函数
的最小值为
,得
,
当,则函数
的最小值为
,得
.
综上.
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【题目】线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内,并与这两个面都成30°角,则异面直线AB与l所成的角是( )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+
=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点,且kOAkOB=﹣,判断△AOB的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.
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【题目】如图,四棱锥中,平面
平面
,底面
为梯
形, ,
,
.且
与
均为正三角形,
为
的中点,
为
重心.
(1)求证: 平面
;
(2)求异面直线与
的夹角的余弦值.
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【题目】函数的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
①函数在区间
内单调递增;②函数
在区间
内单调递减;③函数
在区间
内单调递增;④当
时,函数
有极小值;⑤当
时,函数
有极大值.则上述判断中正确的是( )
A. ①② B. ③
C. ②③ D. ③④⑤
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【题目】已知函数,
为实数.
(1)若关于的不等式
的解集为
,求实数
的值;
(2)设,当
时,求函数
的最小值(用
表示);
(3)若关于不等式
的解集中恰好有两个整数解,求
的取值范围.
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