【题目】如图,四棱锥中,平面
平面
,底面
为梯
形, ,
,
.且
与
均为正三角形,
为
的中点,
为
重心.
(1)求证: 平面
;
(2)求异面直线与
的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)连接交
于
,连接
,由重心性质推导出
,根据线面平行的判定定理可得
平面
;(2)取线段
上一点
,使得
,可证
即是异面直线
与
的夹角,由余弦定理可得结果.
试题解析:(1)方法一:连交
于
,连接
.
由梯形,
且
,知
又为
的中点,
为
的重心,∴
,在
中,
,故
//
. 又
平面
,
平面
,∴
//平面
.
方法二:过作
交
于
,过
作
交
于
,连接
,
为
的重心,
,
,
又为梯形,
,
,
,
∴
又由所作, 得
//
,
为平行四边形.
,
面
(2) 取线段上一点
,使得
,连
,则
,
,
,在
中
,则异面直线
与
的夹角的余弦值为
.
角函数和等差数综合起来命题,也正体现了这种命题特点.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理,属于中挡题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的.
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【题目】共享单车是城市慢行系统的一种模式创新,对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉,各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20000元,每生产一件新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数,其中
是新样式单车的月产量(单位:件),利润
总收益
总成本.
(1)试将自行车厂的利润元表示为月产量
的函数;
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,点E是AB的中点.
(1)求证:OE∥平面BCC1B1.
(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.
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【题目】已知函数f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为
.
(1)求ω的值;
(2)在△ABC中,sinB,sinA,sinC成等比数列,求此时f(A)的值域.
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【题目】【2016年高考四川理数】设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a ∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)确定a的所有可能取值,使得在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
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【题目】电视剧《人民的名义》中有一个低矮的接待上访服务窗口,假设群众办理业务所需的时间互相独立,且都是10分钟的整数倍,对以往群众办理业务所需的时间统计结果如下:
办理业务所需的时间(分) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
频率 | 0.3 | 0.3 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
假设排队等待办理业务的群众不少于3人,从第一个群众开始办理业务时开始计时.
(Ⅰ)估计第三个群众恰好等待40分钟开始办理业务的概率;
(Ⅱ)表示至第20分钟末已办理完业务的群众人数,求
的分布列及数学期望.
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