【题目】如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,点E是AB的中点.
(1)求证:OE∥平面BCC1B1.
(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析
【解析】试题分析:(1)利用线面平行的判定定理,通过中位线平行得到,从而得到
平面
;(2)要证明
线线垂直,则证明
平面
线面垂直,所以根据线面垂直的判定定理,找到
,则得证。
试题解析:
(1)连接BC1,因为侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,所以O为AC1的中点,又因为E是AB的中点,所以OE∥BC1,因为OE平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,所以OE∥平面BCC1B1.
(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,因为AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C平面A1BC,A1B平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC,因为BC平面A1BC,所以AC1⊥BC.
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【题目】已知函数,函数
.
(1)若的定义域为
,求实数
的取值范围;
(2)当时,求函数
的最小值
;
(3)是否存在非负实数,使得函数
的定义域为
,值域为
,若存在,求出
的值;若不存在,则说明理由.
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【题目】某厂有4台大型机器,在一个月中,一台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修,每台机器出现故障需要维修的概率为.
(1)若出现故障的机器台数为,求
的分布列;
(2) 该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?
(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力,每月需支付给每位工人1万元的工资,每台机器不出现故障或出现故障能及时维修,就使该厂产生5万元的利润,否则将不产生利润,若该厂现有2名工人,求该厂每月获利的均值.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若f(1)=0,求函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)令,讨论函数g(x)的单调区间;
(Ⅲ)若a=2,正实数x1,x2满足证明
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【题目】据四川省民政厅报告,2013年6月29日以来,四川省中东部出现强降雨天气过程,局地出现大暴雨.暴雨洪涝灾害已造成遂宁、德阳、绵阳等12市34县(市、区)244万人受灾,共造成直接经济损失85502.41万元.适逢暑假,小王在某小区调查了50户居民由于洪灾造成的经济损失,将收集的数据分成[0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000]五组,并作出频率分布直方图(如图).
(1)若先从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行调查,求这2户不在同一小组的概率;(2)洪灾过后小区居委会号召小区居民为洪灾重灾区捐款,小王调查的50户居民的捐款情况如表,在表格空白处填写正确的数字,并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:临界值表参考公式:K2=.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+
=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点,且kOAkOB=﹣,判断△AOB的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.
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【题目】如图,在梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,平面
平面
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)点在线段
上运动,设平面
与平面
所成二面角的平面角为
,试求
的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥中,平面
平面
,底面
为梯
形, ,
,
.且
与
均为正三角形,
为
的中点,
为
重心.
(1)求证: 平面
;
(2)求异面直线与
的夹角的余弦值.
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【题目】【2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试数学(理)】已知函数,其中常数
.
(Ⅰ)讨论在
上的单调性;
(Ⅱ)当时,若曲线
上总存在相异两点
,使曲线
在
两点处的切线互相平行,试求
的取值范围.
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