Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量

m

=（1，sinA）与向量

n

=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量共线（平行）的坐标表示,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为2sin(2x+

π

6

)+1．令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，求得x的范围，结合x∈[0，

π

2

]，可得f（x）的递增区间．
（Ⅱ）由f（C）=2，求得sin(2C+

π

6

)=

1

2

，结合C的范围求得C的值．根据向量

m

=（1，sinA）与向量

n

=（2，sinB）共线，可得

sinA

sinB

=

1

2

，故有

a

b

=

1

2

 ①，再由余弦定理得9=a²+b²-ab ②，由①②求得a、b的值．

解答： 解：（I）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得2kπ-

2π

3

≤2x≤2kπ+

π

3

，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴f（x）的递增区间为[0，

π

6

]．
（Ⅱ）由f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=2，得sin(2C+

π

6

)=

1

2

．
而C∈（0，π），∴2C+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，∴2C+

π

6

=

5

6

π，可得C=

π

3

．
∵向量向量

m

=（1，sinA）与向量

n

=（2，sinB）共线，∴

sinA

sinB

=

1

2

，
由正弦定理得：

a

b

=

1

2

 ①．
由余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC，即9=a²+b²-ab ②，
由①、②解得a=

3

，b=2

3

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题．