Question

已知函数f（x）=x²-2ax+3在区间[-1，1]上有最小值，记作g（a）．
（1）求g（a）的函数表达式；
（2）作出g（a）的函数图象并指出它的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）给出的函数是二次函数，求出其对称轴方程，分对称轴在给定的区间左侧，右侧及在区间内，利用函数的单调性求出其在不同区间内的最大值，然后写成分段函数的形式；
（2）分段作出函数g（a）的图象，由图象直接看出g（a）的最大值．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²-2ax+3的对称轴为x=a，且x∈[-1，1]．
①当a≤-1时，f（x）_min=f（-1）=5+2a，即g（a）=4+2a．
②当-1＜a＜1时，f（x）min=f（a）=3-a²，
③当a≥1时，f（x）_min=f（1）=5-2a，即g（a）=4-2a．
综①②③得：g（a）=

4+2a，a≤-1 3-a2，-1＜a＜1 4-2a，a≥1

．
（2）g（a）的图象如图，

由图可知，当a=0时，g（a）有最大值3．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论求二次函数在不同区间上的最值，须注意的是分段函数的值域要分段求，此题是基础题．