Question

以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度．已知直线l的方程为
ρcosθ-ρsinθ-1=0（ρ＞0），曲线C的参数方程为

x=2cosα y=2+2sinα

（α为参数），点M是曲线C上的一动点．
（Ⅰ）求线段OM的中点P的轨迹方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）设中点P的坐标为（x，y），依据中点公式求得线段OM的中点P的轨迹的参数方程，再把它化为直角坐标方程．
（Ⅱ）求得直线l的普通方程和曲线C的普通方程，可得曲线C表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心（0，2）到直线l的距离减去半径，计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）设中点P的坐标为（x，y），依据中点公式有

x=cosα y=1+sinα

（α为参数），
这是点P轨迹的参数方程，消参得点P的直角坐标方程为x²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）直线l的普通方程为x-y-1=0，曲线C的普通方程为x²+（y-2）²=4
表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，
故所求最小值为圆心（0，2）到直线l的距离减去半径，
设所求最小距离为d，则d=

|0-2-1|

2

-2=

3 2

2

-2．
因此曲线C上的点到直线l的距离的最小值为

3 2

2

-2．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、直线和圆的位置关系，属于中档题．