Question

已知椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A、B分别是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂，若|k₁•k₂|=

1

4

，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀），则k₁=

y0

x0+a

，k₂=

y0

a-x0

，利用|k₁•k₂|=

1

4

可求得

b2

a2

=

1

4

，从而可求得该椭圆的离心率．

解答： 解：设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀），

∵A（-a，0），B（a，0），
∴|k₁•k₂|=|

y0

x0+a

•

y0

a-x0

|=

y02

a2-x02

=

b2(1- x02 a2 )

a2-x02

=

b2

a2

=

1

4

，
∴4b²=4（a²-c²）=a²，即3a²=4c²，
∴e=

c

a

=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程和几何性质，考查运算求解能力，属于中档题．