Question

设函数f(x)=

x+ 1 x

[x]•[ 1 x ]+[x]+[ 1 x ]+1

(x＞0)，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[2]=2， [

1

3

]=0， [1.8]=1．
（Ⅰ）求f(

3

2

)的值；
（Ⅱ）若在区间[2，3）上存在x，使得f（x）≤k成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用赋值法，可求f(

3

2

)的值；
（Ⅱ）确定f（x）在区间[2，3）上递增，可得f（x）在区间[2，3）上的值域，利用f（x）≤k成立，即可求实数k的取值范围；
（Ⅲ）x∈（1，+∞）时，f（x）的值域为I₁∪I₂∪…∪I_n∪…，设an=

n+ 1 n

n+1

=

n2+1

n(n+1)

，bn=

n+1+ 1 n+1

n+1

=1+

1

(n+1)2

，则I_n=[a_n，b_n）．从而可求函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）因为[

3

2

]=1，[

2

3

]=0，所以f(

3

2

)=

3 2 + 2 3

[ 3 2 ]•[ 2 3 ]+[ 3 2 ]+[ 2 3 ]+1

=

13

12

．-------------（2分）
（Ⅱ）因为2≤x＜3，所以[x]=2，[

1

x

]=0，----------------------（3分）
则f(x)=

1

3

(x+

1

x

)．
求导得f′(x)=

1

3

(1-

1

x2

 )，当2≤x＜3时，显然有f'（x）＞0，
所以f（x）在区间[2，3）上递增，----------------------（5分）
即可得f（x）在区间[2，3）上的值域为[

5

6

，

10

9

)，
在区间[2，3）上存在x，使得f（x）≤k成立，所以k≥

5

6

．--------------------（7分）
（Ⅲ）由于f（x）的表达式关于x与

1

x

对称，且x＞0，不妨设x≥1．
当x=1时，

1

x

=1，则f(1)=

1

2

；----------------------（8分）
当x＞1时，设x=n+αZ，n∈N^*，0≤αZ＜1．
则[x]=n，[

1

x

]=0，所以f(x)=f(n+α)=

n+α+ 1 n+α

n+1

．-----------------（9分）
∵设g(x)=x+

1

x

，g′(x)=1-

1

x2

＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函数，
又n≤n+α＜n+1，∴n+

1

n

≤n+α+

1

n+α

＜n+1+

1

n+1

，
当x≥2时，f(x)∈[

n+ 1 n

n+1

，

n+1+ 1 n+1

n+1

)=In(n∈N*，n≥2)
当x∈（1，2）时，f(x)∈(1，

5

4

)=I1…（11分）
故x∈（1，+∞）时，f（x）的值域为I₁∪I₂∪…∪I_n∪…
设an=

n+ 1 n

n+1

=

n2+1

n(n+1)

，bn=

n+1+ 1 n+1

n+1

=1+

1

(n+1)2

，
则I_n=[a_n，b_n）．
∵an+1-an=

n-2

n(n+1)(n+2)

，
∴当n≥2时，a₂=a₃＜a₄＜…＜a_n＜…
又b_n单调递减，∴b₂＞b₃＞…＞b_n＞…
∴[a₂，b₂）=I₂

? ≠

I₃

? ≠

I₄

? ≠

…

? ≠

I_n

? ≠

…----------------------（12分）
∵I1=[a1，b1)=[1，

5

4

)，I2=[a2，b2)=[

5

6

，

10

9

)，
∴I₁∪I₂∪…∪I_n∪…=I₁∪I₂=[1，

5

4

)∪[

5

6

，

10

9

)=[

5

6

，

5

4

)Z．
综上所述，f（x）的值域为{

1

2

}∪[

5

6

，

5

4

)．----------------------（13分）
说明：其他正确解法按相应步骤给分．

点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．