Question

【题目】已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方．

（1）若线段MN的垂直平分线交x轴于点Q，若|FQ|＝8，求直线l的斜率；

（2）设点P（x0，0），若点M恒在以FP为直径的圆外，求x0的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x0∈[0，1）∪（1，9）．

【解析】

（1）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设l的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而可得MN的中点坐标，进而可得MN的中垂线方程，令y＝0可得Q的坐标，进而求出|QF|的值，由题意可得直线l的斜率；

（2）由题意可得∠FMP为锐角，等价于0，求出的表达式，换元等价于h（t）＝t2+（3﹣x0）4+x0，t＞0恒成立，分两种情况求出x0 取值范围．

（1）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：x＝ty+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的最大E（x0，y0），

联立直线与抛物线的方程可得：，

整理可得y2﹣4ty﹣4＝0，

所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，

所以y0＝2t，x0＝ty0+1＝2t2+1，即E（2t2+1，2t），

故线段MN的中垂线方程为：y﹣2t＝﹣t（x﹣2t2﹣1），

令y＝0，则Q（2t2+3，0），

所以|FQ|＝|22+3﹣1|＝8，

解得t，

所以直线l的斜率k；

（2）点M恒在以FP为直径的圆外，则∠FMP为锐角，等价于0，

设M（，y1），F（1，0），P（x0，0），

则（x0，﹣y1），（1，﹣y1），

故（x0）（1）+y12（1）x0＞0恒成立，

令t，t＞0，原式等价于t2+3t+（1﹣t）x0＞0对任意t＞0恒成立，

即t2+（3﹣x0）4+x0＞0对任意t＞0恒成立，

令h（t）＝t2+（3﹣x0）4+x0，t＞0，

①△＝（3﹣x0）2﹣4x0＜0，即1＜x0＜9，

②，解得0≤x0≤1，又因为x0≠1，故x0∈[0，1），

综上所述x0∈[0，1）∪（1，9）．