【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线方程是
.
(Ⅰ)求实数,
的值;
(Ⅱ)若函数有两个不同的零点
,
,求证:
.
【答案】(Ⅰ),
;(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据导数的几何意义,点处的导数就是该点切线的斜率,再根据该切点既在曲线上也在直线上,列式即可得解;
(Ⅱ)求出的解析式及其单调性,当
时,
,
为增函数;
时,
,
为减函数,由函数
有两个不同的零点,则
,
满足
,构造函数
,再根据
的单调性即可得出
,
的关系.
(Ⅰ)由求导,得
,
由切线方程知,切点为
,
切线斜率为,
所以解得
,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
,
当时,
,
为增函数;
时,
,
为减函数.
所以时,函数
取得极大值.
又易知,
,
,
所以函数的两个不同的零点
,
满足
,
构造函数,
即,
.
当时,
,所以
为
上的增函数,
因为,所以
,
即,即
,
因为,所以
,
又因为,所以
,而
,且
在区间
上单调递减,
所以由可得
,
即.
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【题目】已知动直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F,且与抛物线C交于M,N两点,且点M在x轴上方.
(1)若线段MN的垂直平分线交x轴于点Q,若|FQ|=8,求直线l的斜率;
(2)设点P(x0,0),若点M恒在以FP为直径的圆外,求x0的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在四边形中,
,
,
,
.把
沿着
翻折至
的位置,
平面
,连结
,如图2.
(1)当时,证明:平面
平面
;
(2)当三棱锥的体积最大时,求点
到平面
的距离.
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【题目】已知为坐标原点,椭圆
的右焦点为
,过
的直线
与
相交于
两点,点
满足
.
(1)当的倾斜角为
时,求直线
的方程;
(2)试探究在轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人,每人分别对两个教师进行评分,满分均为100分,整理评分数据,将分数以10为组距分成6组:,
,
,
,
,
.得到甲教师的频率分布直方图,和乙教师的频数分布表:
乙教师分数频数分布表 | |
分数区间 | 频数 |
3 | |
3 | |
15 | |
19 | |
35 | |
25 |
(1)在抽样的100人中,求对甲教师的评分低于70分的人数;
(2)从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人,求2人评分均在
范围内的概率;
(3)如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准,则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师?(精确到0.1)
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