【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)证明:在区间
上有且仅有
个零点.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)给函数求导,将切点的横坐标带入原函数,导函数,分别求出切点和斜率,用点斜式写出直线方程即可.
(2)当时,
,所以,函数
在区间
上没有零点;又
,下面只需证明函数
在区间
上有且只有一个零点.因为函数
在区间
上单调递增,
,
,存在
,使得
,函数
在
处取得极小值,则
,又
,所以
,由零点存在定理可知,函数
在区间
上有且只有一个零点.综上可得,函数
在
上有且仅有两个零点.
(1),则
,
,
.
因此,函数在点
处的切线方程为
,即
.
(2)当时,
,此时,
,
所以,函数在区间
上没有零点;
又,下面只需证明函数
在区间
上有且只有一个零点.
,构造函数
,则
,
当时,
,
所以,函数在区间
上单调递增,
,
,
由零点存在定理知,存在,使得
,
当时,
,当
时,
.
所以,函数在
处取得极小值,则
,
又,所以
,
由零点存在定理可知,函数在区间
上有且只有一个零点.
综上可得,函数在
上有且仅有两个零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,四棱锥的底面是边长为2的正方形,平面
平面
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)设为
的中点,问边
上是否存在一点
,使
平面
,并求此时点
到平面
的距离.
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【题目】若抛物线的焦点为
,
是坐标原点,
为抛物线上的一点,向量
与
轴正方向的夹角为60°,且
的面积为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若抛物线的准线与
轴交于点
,点
在抛物线
上,求当
取得最大值时,直线
的方程.
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【题目】从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
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【题目】如图,已知点,
,抛物线
的焦点
为线段
中点.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点的直线交抛物线
于
两点,
,过点
作抛物线
的切线
,
为切线
上的点,且
轴,求
面积的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
的方程为
,且直线
与以原点为圆心,椭圆
短轴长为直径的圆相切.
(1)求的值;
(2)若椭圆左右顶点分别为
,过点
作直线
与椭圆交于
两点,且
位于第一象限,
在线段
上.
①若和
的面积分别为
,问是否存在这样的直线
使得
?请说明理由;
②直线与直线
交于点
,连结
,记直线
的斜率分别为
,求证:
为定值.
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