【题目】如图,在四棱柱中,
,
,
,且
,
.
(1)求证:;
(2)若四棱柱的体积为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)连接,通过证明
,证得
平面
,由此证得
.
(2)先证得平面
,由此判断出
是直线
与平面
所成角,通过四棱柱
的体积求得四棱柱的高,解三角形求得
.
(1)连接,在四棱柱
中,四边形
为平行四边形,
∵,∴四边形
为菱形,∴
,
又∵,
而和
都包含于平面
,且
,
所以平面
,所以
.
(2)∵,
,
,
∴平面
,所以
是直线
与平面
所成角.
因为,
,且
,
,可知四边形
为直角梯形,且
为直角腰,取
边中点
,则四边形
为矩形,可求得
,得梯形
的面积为
,又因为四棱柱
的体积为
,得四棱柱的高为
,
因为平面
,得平面
平面
,在菱形
内作
边上的高
,垂足为
,则
平面
,
即.故菱形
内
,则
为等边三角形,
,
求得.(或证明点
与点
重合,求得
和
,求得
)
所以.
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【题目】微信运动,是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和其他用户进行运动量的或点赞.微信运动公众号为了解用户的一些情况,在微信运动用户中随机抽取了100名用户,统计了他们某一天的步数,数据整理如下:
| ||||||
| 5 | 20 | 50 | 15 | 5 | 5 |
(1)根据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图,并在纵轴上标明各小长方形的高;
(2)利用分层抽样的方法,从步数在(万步)中抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求步数在
(万步)的人恰有1人的概率;
(3)这100名用户中,的用户为男生,这些男生的步数超过1.2万步的人为20人,是否有
的把握认为运动步数超过1.2万步与性别有关?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的前
项和为
,且满足
,
,设
,
.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)若,
,求实数
的最小值;
(Ⅲ)当时,给出一个新数列
,其中
,设这个新数列的前
项和为
,若
可以写成
(
,
且
,
)的形式,则称
为“指数型和”.问
中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.
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【题目】为响应党中央“扶贫攻坚”的号召,某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高,根据以往的经验,随着温度的升高,其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数:
经计算: ,
,
,
,
,
,
,其中
分别为试验数据中的温度和死亡株数,
.
(1)若用线性回归模型,求关于
的回归方程
(结果精确到
);
(2)若用非线性回归模型求得关于
的回归方程为
,且相关指数为
.
(i)试与(1)中的回归模型相比,用说明哪种模型的拟合效果更好;
(ii)用拟合效果好的模型预测温度为时该批紫甘薯死亡株数(结果取整数).
附:对于一组数据,
,……,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
;相关指数为:
.
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【题目】在中,
,
.已知
分别是
的中点.将
沿
折起,使
到
的位置且二面角
的大小是60°,连接
,如图:
(1)证明:平面平面
(2)求平面与平面
所成二面角的大小.
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【题目】如图,四棱锥中,底面
是直角梯形,
,
,
,侧面
底面
,且
是以
为底的等腰三角形.
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若四棱锥的体积等于
.问:是否存在过点
的平面
分别交
,
于点
,使得平面
平面
?若存在,求出
的面积;若不存在,请说明理由.
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