【题目】已知数列的前
项和为
,且满足
,
,设
,
.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)若,
,求实数
的最小值;
(Ⅲ)当时,给出一个新数列
,其中
,设这个新数列的前
项和为
,若
可以写成
(
,
且
,
)的形式,则称
为“指数型和”.问
中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.
【答案】(I)详见解析;(II);(III)
为指数型和.
【解析】
(I)通过计算证明证得,来证得数列
是等比数列.
(II)利用求得数列
的通项公式,由
,
,求得
的最小值.
(III)先求得的通项公式,对
分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论,根据“指数型和”的定义,求出符合题意的“指数型和”.
(I),
.由于
,当
时,
,所以数列
是等比数列.
,
.
(II)由(I)得,
,所以
.因为
,
.当
时,
,
,而
,所以
,即
,化简得
,由于当
时,
单调递减,最大值为
,所以
,又
,所以
的最小值为
.
(III)由(I)当时,
,当
时,
.
也符合上式,所以对正整数
都有
.由
,(
且
),
只能是不小于
的奇数.
①当为偶数时,
,由于
和
都是大于
的正整数,所以存在正整数
,使得
,
,所以
,且
,相应的
,即有
,
为“指数型和”;
② 当为奇数时,
,由于
是
个奇数之和,仍为奇数,又
为正偶数,所以
不成立,此时没“指数型和”.
综上所述,中的项存在“指数型和”,为
.
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【题目】微信运动,是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和其他用户进行运动量的或点赞.微信运动公众号为了解用户的一些情况,在微信运动用户中随机抽取了100名用户,统计了他们某一天的步数,数据整理如下:
| ||||||
| 5 | 20 | 50 | 15 | 5 | 5 |
(1)根据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图,并在纵轴上标明各小长方形的高;
(2)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取3人,求至少2人步数多于1.2万步的概率;
(3)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取2人,其中每日走路不超过0.8万步的有人,超过1.2万步的有
人,设
,求
的分布列及数学期望.
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【题目】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保费 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
频数 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
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【题目】某苗木基地常年供应多种规格的优质树苗.为更好地销售树苗,建设生态文明家乡和美好家园,基地积极主动地联系了甲、乙、丙三家公司,假定基地得到公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别、
、
,且基地是否得到三家公司的购买合同是相互独立的.
(1)若公司甲计划与基地签订300棵银杏实生苗的销售合同,每棵银杏实生苗的价格为90元,栽种后,每棵树苗当年的成活率都为0.9,对当年没有成活的树苗,第二年需再补种1棵.现公司甲为苗木基地提供了两种售后方案,
方案一:公司甲购买300棵银杏树苗后,基地需提供一年一次,共计两年的补种服务,且每次补种人工及运输费用平均为800元;
方案二:公司甲购买300棵银杏树苗后,基地一次性地多给公司甲60棵树苗,后期的移栽培育工作由公司甲自行负责.
若基地首次运送方案一的300棵树苗及方案二的360棵树苗的运费及栽种费用合计都为1600元,试估算两种方案下苗木基地的合同收益分别是多少?
(2)记为该基地得到三家公司购买合同的个数,若
,求随机变量
的分布列与数学期望
.
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【题目】如图,是边长为2的正方形,
平面
,且
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)线段上是否存在一点
,使二而角
等于45°?若存在,请找出点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为( )
A.56383B.57171C.59189D.61242
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【题目】已知是一个单调递增的等比数列,
是一个等差数列,
是
的前
项和,其中
,
,
成等差数列,
.
(1)求的通项公式;
(2)若,
,
既成等比数列,又成等差数列.
(i)求的通项公式;
(ii)对于数列,若
且
,或
且
,则
为数列
的转折点,求
的转折点个数.
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