Question

【题目】已知是一个单调递增的等比数列，是一个等差数列，是的前项和，其中，，成等差数列，.

（1）求的通项公式；

（2）若，，既成等比数列，又成等差数列.

（i）求的通项公式；

（ii）对于数列，若且，或且，则为数列的转折点，求的转折点个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）或；（ii）3.

【解析】

（1）由题意结合等比数列的通项公式可得，解出即可得解；

（2）（i）由题意得，则，解方程组即可得解；

（ii）由题意，由题意列出不等式组，解出不等式组即可得解.

（1）设数列的公比为q，

由题意即，

解得，

所以；

（2）（i），，既成等比数列，又成等差数列，

，

设公差为d，

则解得或，

或；

（ii）当时，，

，

设满足，

则，

解得，

当时，，

，与第一种情况相同；

设满足，

则，

解得；

综上，的转折点个数为3，分别为2，3，9.