Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）证明：当时，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）当时，，，故切线为

（2）由题意得：在上恒成立，即恒成立，求的最小值，即可得出答案.

（3）当时，可证明恒成立，变形得：，

又因为，即，故，将替换成，即可得出答案.

解：（1）时，，∴，

∴，，

∴切线方程为.

（2）由题可知在上恒成立，

∴恒成立，

设函数，则，

令得，

当时，当时，

∴在单调递减，在单调递增，

∴.

∴，∴的取值范围是.

（3）首先证明：当时，.

设，则，.

易得：在单调递减，在单调递增.

又，，，∴.

所以存在使得.

∴当时，当时，

当时.

∴在，单调递增，在单调递减，

∵，∴在都成立，

即时恒成立.

即：，变形得：，

设，，，

∵当时，，

当时，，

∴，

∴，即，

∴，

将替换成得：.