Question

【题目】已知函数在处取得极值A，函数，其中…是自然对数的底数．

（1）求m的值，并判断A是的最大值还是最小值；

（2）求的单调区间；

（3）证明：对于任意正整数n，不等式成立．

Answer 1

【答案】（1）；是最小值；（2）单调递减区间是，单调递增区间是；（3）证明过程见详解.

【解析】

（1）先对函数求导，根据题意，得到，求出，研究函数单调性，即可判断出结果；

（2）对函数求导，得到，令，对其求导，研究其单调性，即可判断函数的单调性；

（3）先由（1）得时，恒成立，令，则，进而求和，即可得出结果.

（1）因为，，所以，

又在处取得极值，

则，即；所以，

由得；由得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

因此在处取得最小值，即是最小值；

（2）由（1）得，

所以，

令，则，

因为，所以恒成立，

因此在上单调递增；又，

所以，当时，，即；

当时，，即；

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是；

（3）由（1）知，，

所以，当时，恒成立；

令，则，

因此

，

即，

因此.