Question

【题目】如图，在三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，、分别为、的中点.

（1）若，求直线与所成角的余弦值；

（2）若平面平面，求的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）首先取的中点，连接，以为坐标原点，过且与平行的直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别求出，的坐标，再代入公式计算即可.

（2）首先设，分别计算平面和平面的法向量，根据平面平面，法向量的数量积等于即可得到的长.

（1）取的中点，连接，则.

以为坐标原点，过且与平行的直线为轴，为轴，

为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，.

，.

设直线，所成角为，

则.

所以直线，所成角的余弦值为.

（2）设，则，，.

设平面的法向量，

则，令，.

，，，.

设平面的法向量，

则，令，.

因为面平面，所以，

即，解得.

所以.