Question

【题目】已知函数f（x）（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1），有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在（，）上单调递减；③当θ∈[，]时，有|f（x）|；④当θ∈[，]时，有|f'（x）|；其中所有真命题的编号是( )

A.①③B.②④C.①③④D.①④

Answer 1

【答案】D

【解析】

对①直接进行奇偶性的判断即可，对②③④可用换元法，转化成二次函数的图像与性质进行判断即可.

①函数的定义域为R，

∵f（﹣x）=（cosθ+1）cos2（﹣x）+cosθ[cos（﹣x）+1]=（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）=f（x），

∴f（x）是偶函数，即①正确；

②f（x）=2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1，

设t=cosx，则f（t）=2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1，

∵2（cosθ+1）0，∴二次函数的开口向上，

函数的对称轴为t，且t的正负与cosθ的取值有关，

∴f（x）在（，）上不一定单调递减，即②错误；

③当θ∈[，]时，cosθ∈[，]，

f（x）=2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1

设t=cosx，则t∈，

则f（t）=2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1，

∵2（cosθ+1）0，∴二次函数的开口向上，

函数的对称轴为t，

，

，

，

当， 故③错误.

④当θ∈[，]时，cosθ∈[，]

有

，故④成立.

故选：D.