Question

【题目】如图，在直五棱柱，中，，，，，，.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)先由题意可得且，从而有平面，即有，再结合即可证明平面；

(2) 以为原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，求出相关平面的法向量，代入数量积求夹角公式即可.

(1)证明：因为五棱柱为直五棱柱，

所以，

又，且，

所以平面.

因为平面，所以.

因为，，，

所以平面.

（2）解：因为，所以是以为直角顶点的等腰直角三角形，

又，，，，

所以，且两两垂直.

以为原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，.

设平面的法向量为，

则

令，得平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

则

令，得平面的一个法向量为.

设平面与平面所成锐二面角为，

则.