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    【题目】已知圆：，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交线段于点.

    （1）求点的轨迹方程.

    （2）设点，是的轨迹上异于顶点的任意两点，以为直径的圆过点.求证直线过定点，并求出该定点的坐标.

    【答案】（1）；（2）直线过定点，证明见解析.

    【解析】

    （1）根据已知可得，从而得点的轨迹为椭圆，即可求出方程；

    （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，得到两点横坐标的关系，再由已知可得，利用和两点横坐标的关系，整理出关系或求出为定值，即可求出结论.

    （1）圆：，得圆心，半径，

    的垂直平分线交线段于点，

    ，

    点的轨迹为椭圆，且焦点在轴，，

    ，

    点的轨迹方程为；

    （2）依题意直线斜率存在，设其方程为，

    联立，消去得，，

    ，

    设，则，

    以为直径的圆过点，，

    ，

    ，

    整理得，此时恒成立，

    所以直线过定点.

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    （1）证明：平面平面；

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    （3）若，求二面角的大小.

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    【题目】在三棱柱中，⊥底面，，，为线段上一点．

    （Ⅰ）若，求与所成角的余弦值；

    （Ⅱ）若，求与平面所成角的大小；

    （Ⅲ）若二面角的大小为，求的值．

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    【题目】如图，在直五棱柱，中，，，，，，.

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    （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

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    【题目】抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且；③.若经过抛物线焦点的一条弦为，阿基米德三角形为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）

    A.B.

    C.D.

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    【题目】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：

    空气质量

    优

    良

    轻度污染

    中度污染

    重度污染

    严重污染

    天数

    6

    14

    18

    27

    25

    10

    （1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

    （2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.

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    【题目】已知函数．

    （1）若，求的单调区间；

    （2）证明：（i）；

    （ii）对任意，对恒成立．

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    【题目】已知为常数， ，函数， （其中是自然对数的底数）.

    （1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证： ；

    （2）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．

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    【题目】如图，已知抛物线，过抛物线上点B作切线交y轴于点

    （Ⅰ）求抛物线方程和切点的坐标；

    （Ⅱ）过点作抛物线的割线，在第一象限内的交点记为，，设为y轴上一点，满足，为中点，求的取值范围。

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