【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
平面
,
为线段
的中点,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接交
于
,连接
,由三角形的中位线得
,然后证明
平面
;
(2)以为原点,以向量
所在直线为
轴,过
作
的垂线为
轴建立空间直角坐标系(如图),求出相关点的坐标,求出平面
的法向量,设平面
与平面
所成锐二面角为
,利用向量的数量积求解即可.
(1)连接交
于
,连接
,
因为四边形为正方形,所以
为
的中点,
又因为为线段
的中点,所以
,
因为平面
,
平面
,
所以平面
;
(2) 以为原点,以向量
所在直线为
轴,
过作
的垂线为
轴建立空间直角坐标系(如图)
则,
因为,所以
,
,
则,
在中:
可知:
,
又因为为线段
的中点,所以
,
设平面的法向量为
,则
即
令
,则
,
,
即,
又因为平面的法向量
,
设平面与平面
所成锐二面角为
,
则,
所以平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】中医药,是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称,是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识,具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系,是中华民族的瑰宝.某科研机构研究发现,某品种中医药的药物成分甲的含量(单位:克)与药物功效
(单位:药物单位)之间具有关系
.检测这种药品一个批次的5个样本,得到成分甲的平均值为4克,标准差为
克,则估计这批中医药的药物功效的平均值为( )
A.22药物单位B.20药物单位C.12药物单位D.10药物单位
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:如果顾客选购物品的总金额不超过600元,则不享受任何折扣优惠;如果顾客选购物品的总金额超过600元,则超过600元部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为____元.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若抛物线的焦点为
,
是坐标原点,
为抛物线上的一点,向量
与
轴正方向的夹角为60°,且
的面积为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若抛物线的准线与
轴交于点
,点
在抛物线
上,求当
取得最大值时,直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
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【题目】已知正方体的棱长为1,P是空间中任意一点,下列正确命题的个数是( )
①若P为棱中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为
;
②若P在线段上运动,则
的最小值为
;
③若P在半圆弧CD上运动,当三棱锥的体积最大时,三棱锥
外接球的表面积为
;
④若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等,则
截此正方体所得截面面积的最大值为
A.1个B.2个C.3个D.4个
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