Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，且直线与以原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆相切．

（1）求的值；

（2）若椭圆左右顶点分别为，过点作直线与椭圆交于两点，且位于第一象限，在线段上．

①若和的面积分别为，问是否存在这样的直线使得？请说明理由；

②直线与直线交于点，连结，记直线的斜率分别为，求证：为定值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①不存在满足条件的直线，理由详见解析；②详见解析．

【解析】

（1）利用直线与圆相切可构造方程求得；

（2）由（1）得到椭圆方程和坐标；

①将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，同时根据位于第一象限可构造不等式组求得的范围；利用可构造方程求得，可知所求不满足所求范围，知直线不存在；

②利用三点共线和三点共线可利用表示出，同韦达定理一起代入，整理可得定值.

（1）由题意知：直线与圆相切，

圆心到直线的距离，；

（2）由（1）知：椭圆方程为，则，，

①易知直线的斜率不为零，设直线，，，

则将直线与椭圆联立整理得：，

，解得：；

，即，解得：或，

这与不符，所以不存在满足条件的直线；

②设，由三点共线知：，

由三点共线知：，，，

，

由①知：，

，则为定值.