Question

【题目】已知函数（且）.

（1）讨论的单调性；

（2）对任意，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;
(2) 由题意知对任意，恒成立，，又由（1）可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以只需：，设，对其求导可得函数的单调性，从而可求得实数的取值范围.

解：（1）由.令得，

当时，时，，单调递减；时，，单调递增.

当时，时，，单调递减；时，，单调递增.

综上所述，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）由题意知对任意，

恒成立，，

又由（1）知，在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以只需：

，

设.

∵，∴在区间上单调递增；在区间上单调递减.

注意到，所以，当不等式（1）成立；当时不等式（1）不成立.

又，∴当不等式（1）也成立，

所以，时不等式（1）成立.此时，不等式（2）也成立，而当时，

，由函数的性质知，不等式（2）不成立.

综上所述，不等式组的解为.

又∵，∴实数的取值范围为.