Question

【题目】某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为组：、、、加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于的种子定为“级”，发芽率低于但不低于的种子定为“级”，发芽率低于的种子定为“级”．

（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“级”种子的概率；

（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“级”、“级”、“级”康乃馨种子的售价分别为元、元、元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费元，以频率为概率，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为；（Ⅲ）方差变大了．

【解析】

（Ⅰ）利用频率分布直方图中矩形面积之和为，求出的值，再结合频率分布直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（Ⅱ）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可列出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的数学期望；

（Ⅲ）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论.

（Ⅰ）设事件为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“级”种子”，

由图表，得，解得，

由图表，知“级”种子的频率为，

故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“级”的概率为．

因为事件与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“级”种子”为对立事件，

所以事件的概率；

（Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“级”康乃馨的概率为，

恰好是“级”康乃馨的概率为，

恰好是“级”的概率为．

随机变量的可能取值有、、、、，

且，，

，，

.

所以的分布列为：

故的数学期望．

（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了．