Question

【题目】在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC= ，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，

过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，

建立空间直角坐标系，

则B（1，1，0），E（0，0， ），A（1，0，0），

C（﹣1，2，0），F（0，4， ），

=（﹣1，﹣1， ）， =（﹣1，4， ），

=（﹣2，2，0），

=1﹣4+3=0， =2﹣2=0，

∴BE⊥AF，BE⊥AC，

又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．

（Ⅱ）解： =（﹣2，1，0）， =（﹣1，3， ），

设平面BCF的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，2，﹣ ），

平面ABC的法向量 =（0，0，1），

设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥平面ACF．（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣F的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．