Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，DA⊥平面PAB，DC∥AB，DA＝DC＝2，AB＝AP＝4，∠PAB＝120°，M为PB中点．

（Ⅰ）求证：CM∥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】

（Ⅰ）取AB中点O，连接CO，MO，可得边形AOCD为平行四边形，得到CO∥AD，由线面平行的判定可得CO∥平面PAD；再证明MO∥PA，得到OM∥平面PAD，由面面平行的判定可得平面COM∥平面PAD，则CM∥平面PAD；

（Ⅱ）由DA⊥平面PAB，可得平面PAB⊥平面ABCD，由已知可得∠MAB＝60°，∠MOA＝60°，取AO中点G，连接MG，则MG⊥AO，过G作GH⊥AC，垂足为H，连接MH，则∠MHG为二面角M﹣AC﹣B的平面角，求解三角形得答案．

（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接CO，MO，

∵DC∥AB，AO＝DC，可得四边形AOCD为平行四边形，

则CO∥AD，

∵AD平面PAD，CO平面PAD，∴CO∥平面PAD；

∵M为PB中点，O为AB中点，则MO∥PA，

∵PA平面PAD，OM平面PAD，∴OM∥平面PAD．

∵CO∩OM＝O，∴平面COM∥平面PAD，

则CM∥平面PAD；

（Ⅱ）解：由DA⊥平面PAB，DA平面ABCD，可得平面PAB⊥平面ABCD，

∵∠PAB＝120°，PA＝AB，M为PB的中点，则∠MAB＝60°，∠MOA＝60°，

取AO中点G，连接MG，则MG⊥AO，过G作GH⊥AC，垂足为H，连接MH，

则∠MHG为二面角M﹣AC﹣B的平面角，

在等边三角形AMO中，由AO＝DC＝2，可得MG，HG，得MH．

∴cos∠MHG．

即二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．