【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,DA⊥平面PAB,DC∥AB,DA=DC=2,AB=AP=4,∠PAB=120°,M为PB中点.
(Ⅰ)求证:CM∥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值.
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】
(Ⅰ)取AB中点O,连接CO,MO,可得边形AOCD为平行四边形,得到CO∥AD,由线面平行的判定可得CO∥平面PAD;再证明MO∥PA,得到OM∥平面PAD,由面面平行的判定可得平面COM∥平面PAD,则CM∥平面PAD;
(Ⅱ)由DA⊥平面PAB,可得平面PAB⊥平面ABCD,由已知可得∠MAB=60°,∠MOA=60°,取AO中点G,连接MG,则MG⊥AO,过G作GH⊥AC,垂足为H,连接MH,则∠MHG为二面角M﹣AC﹣B的平面角,求解三角形得答案.
(Ⅰ)证明:取AB中点O,连接CO,MO,
∵DC∥AB,AO=DC,可得四边形AOCD为平行四边形,
则CO∥AD,
∵AD平面PAD,CO平面PAD,∴CO∥平面PAD;
∵M为PB中点,O为AB中点,则MO∥PA,
∵PA平面PAD,OM平面PAD,∴OM∥平面PAD.
∵CO∩OM=O,∴平面COM∥平面PAD,
则CM∥平面PAD;
(Ⅱ)解:由DA⊥平面PAB,DA平面ABCD,可得平面PAB⊥平面ABCD,
∵∠PAB=120°,PA=AB,M为PB的中点,则∠MAB=60°,∠MOA=60°,
取AO中点G,连接MG,则MG⊥AO,过G作GH⊥AC,垂足为H,连接MH,
则∠MHG为二面角M﹣AC﹣B的平面角,
在等边三角形AMO中,由AO=DC=2,可得MG,HG
,得MH
.
∴cos∠MHG.
即二面角M﹣AC﹣B的余弦值为.
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【题目】如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F、G分别为EB和AB的中点.
(1)求证:FD∥平面ABC;
(2)求二面角B﹣FC﹣G的正切值.
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【题目】已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(a,b为常数,a≠0,x∈R)的图象关于x= 对称,则函数y=f(
﹣x)是( )
A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且它的图象关于点 对称
C.奇函数且它的图象关于点 对称
D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
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【题目】已知函数f(x)=2sinx( ).
(1)求函数f(x)在( )上的值域;
(2)在△ABC中,f(C)=0,且sinB=sinAsinC,求tanA的值.
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【题目】考拉兹猜想又名3n+1猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果i=( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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【题目】在如图所示的五面体中,面ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ADC= ,平面ADE⊥平面ABCD,EF=2DC=4AB=4,△ADE是边长为2的正三角形.
(Ⅰ)证明:BE⊥平面ACF;
(Ⅱ)求二面角A﹣BC﹣F的余弦值.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0, )的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向右平移
个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间
(
)上的值域为[﹣1,2],则θ= .
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