Question

【题目】已知直线是曲线的切线.

（1）求函数的解析式，

（2）若，证明:对于任意，有且仅有一个零点.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）对函数求导，并设切点，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得，即可得答案；

（2）当x充分小时，当x充分大时，可得至少有一个零点. 再证明零点的唯一性，即对函数求导得，对分和两种情况讨论，即可得答案.

（1）根据题意，，设直线与曲线相切于点.

根据题意，可得，解之得，

所以.

（2）由（1）可知，

则当x充分小时，当x充分大时，∴至少有一个零点.

∵，

①若，则，在上单调递增，∴有唯一零点.

②若令，得有两个极值点，

∵，∴，∴.

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴极大值为.，又，

∴在(0，16)上单调递增，

∴，

∴有唯一零点.

综上可知，对于任意，有且仅有一个零点.