Question

下列五个命题：
①方程y=kx+2可表示经过点（0，2）的所有直线；
②经过点（x₀，y₀）且与直线l：Ax+By+C=0（A，B≠0）平行的直线方程为：A（x-x₀）+B（y-y₀）=0；
③在△ABC中，已知a=

3

，A=60°，则

a+b+c

sinA+sinB+sinC

=2；
④函数f（x）=

x2+2

x2+1

的最小值为2；
⑤lgx+

1

lgx

≥2   
其中真命题是

②③④

（把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析：①利用直线过定点的性质可得①正确．②利用直线平行的性质得平行直线的方程．③利用正弦定理的应用判断．④利用基本不等式的性质判断．
⑤利用基本不等式成立的条件判断．

解答：解：①当直线垂直于x轴时，直线的斜率不存在，所以此时无法方程y=kx+2不能表示，所以①错误．
②利用平行系设和直线l：Ax+By+C=0（A，B≠0）平行的直线方程为Ax+By+m=0，因为直线过点（x₀，y₀），
所以Ax₀+By₀+m=0，即m=-Ax₀-By₀，所以Ax+By-Ax₀-By₀=0，所以A（x-x₀）+B（y-y₀）=0，所以②正确．
③根据正弦定理得

a+c+c

sinA+sinB+sinC

=

2RsinA+2RsinB+2RsinC

sinA+sinB+sinC

=2R，R为三角形外接圆的半径，
因为a=

3

，A=60°，所以2R=

a

sin?A

=

3

sin?60?

=

3

3 2

=2，所以③正确．
④因为f（x）=

x2+2

x2+1

=

x2+1+1

x2+1

=

x2+1

x2+1

+

1

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，
当且进行

x2+1

=

1

x2+1

，即x²+1=1，即x=0时取等号，所以④正确．
⑤当0＜x＜1时，lgx＜0，不满足基本不等式的条件，所以⑤错误．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，要求熟练掌握相应的知识．