Question

已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点D坐标为（4，0），椭圆C上动点Q关于x轴的对称点为点P，直线PD交椭圆C于点R（异于点P），求证：直线QR过定点．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4，可求几何量，从而求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）先猜想定点坐标为A（1，0），再设Q（m，n），则P（m，-n），证明直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上，从而得证．
解答：（Ⅰ）解：∵椭圆的长轴长是焦距的2倍
∴2a=2（2c），∴a=2c
∵右准线方程为x=4，∴，∴a²=4c
∴4c²=4c，∴c=1，∴a=2，∴b=
所以椭圆C的方程为：；
（Ⅱ）证明：不妨取Q（0，），则P（0，-）
∴直线PD的方程为，即
代入椭圆方程可得：5x²-8x=0
∴x=0，或x=
∴R（，-）
∴直线QR的方程为
令y=0，可得x=1，故猜想定点坐标为A（1，0）
设Q（m，n），则P（m，-n），∴直线PD的方程为：①
直线QA的方程为②
联立①②可得，解得
代入椭圆方程的左边可得+
∵Q（m，n）在椭圆上，∴，∴
∴+=+==1
即直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上
故直线QR过定点（1，0）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，利用先猜后证的方法，解题的关键是确定定点的坐标，属于中档题．