Question

（本题满分12分)

已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；

（Ⅲ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）∵ 平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则．…………2分

不妨令∵，

∴，

即．…………………………4分

（Ⅱ）设平面的法向量为，

由，得，令，解得：．

∴．   ………………………………………………………6分

设点坐标为，，则，

要使∥平面，只需，即，

得，从而满足的点即为所求．……………………………8分

（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，

…………………………………………………………………………………9分

又∵平面，∴是与平面所成的角，

得，，平面的法向量为    ……10分

∴，

故所求二面角的余弦值为．…………………………………12分

解法二：（Ⅰ）证明：连接，则，，

又，∴ ，∴    ………………………………2分

又，∴ ，又，

∴ ……4分

（Ⅱ）过点作交于点，则∥平面，且有

……………………………………5分

再过点作∥交于点，则∥平面且，

∴  平面∥平面      ……………………………………………………7分

∴  ∥平面．

从而满足的点即为所求．  ……………………………………………8分

（Ⅲ）∵平面，∴是与平面所成的角，且．

∴    ………………………………………………………………9分

取的中点，则，平面，

在平面中，过作，连接，则，

则即为二面角的平面

角……………………………………10分

∵∽，∴ ，

∵，且∴  ，，

∴  ……………………………………………………12分