Question

2．如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延长AD交圆O于点E，BF∥CD且交ED于点F
（I）证明：△BCE∽△FDB；
（Ⅱ）若BE为圆O的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，求AD•ED．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据BF∥CD便有∠EDC=∠BFD，再根据同一条弦所对的圆周角相等即可得出∠EBC=∠BFD，∠BCE=∠BDF，这样即可得出：△BCE与△FDB相似；
（Ⅱ）根据条件便可得出∠EBC=∠FBD，再由上面即可得出∠FBD=∠BFD，这样即可得出△FDB为等腰直角三角形，从而可求出BD=$\sqrt{2}$，根据射影定理即可求出AD•ED的值．

解答 解：
（Ⅰ）证明：∵BF∥CD；
∴∠EDC=∠BFD，
又∠EBC=∠EDC，
∴∠EBC=∠BFD，
又∠BCE=∠BDF，
∴△BCE∽△FDB．
（Ⅱ）因为∠EBF=∠CBD，所以∠EBC=∠FBD，
由（Ⅰ）得∠EBC=∠BFD，所以∠FBD=∠BFD，
又因为BE为圆O的直径，
所以△FDB为等腰直角三角形，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=$\sqrt{2}$，
因为AB与圆O相切于B，所以EB⊥AB，即AD•ED=BD²=2．

点评 考查内错角相等，同条弦所对的圆周角相等，以及三角形相似的判定定理，直径所对的圆周角为直角，以及射影定理．