Question

【题目】已知，，对任意，有成立.

（1）求的通项公式；

（2）设，，是数列的前项和，求正整数，使得对任意，恒成立；

（3）设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）或 （3）

【解析】

（1）由可得,结合平面向量的坐标运算可得到的关系式,再结合可证明数列是等比数列,进而可求出通项公式;

（2）将两端同时除以,可得到,从而可证明数列是等差数列,即可求出的表达式,进而求得的通项公式,通过判断其表达式特点,可求出满足题意的正整数;

（3）由题得,,利用裂项相消求和法可求出,结合不等式的性质,可求出的最小值.

（1）由题可得,则,

当时,可得.

时,,则,即,

故数列是以2为首项,公比为2的等比数列,通项公式为.

（2）,等式两端同时除以得:,即,

故是以为首项,公差为的等差数列,通项公式为,

则.

因为当，，当时,,所以当或时,取最大值,对任意，恒成立.

（3）由题意,,

则,故.

所以的最小值为.