Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为正方形ABCD的中心，则D₁O与平面ADD₁A₁所成的角的余弦值为（　　）

• A．

  5

  5

• B．

  6

  6

• C．

  3

  2

• D．

  30

  6

Answer 1

分析：作OE⊥AD于E，在正方体中可得OE⊥平面ADD₁A₁；进而得∠OD₁E即为OD₁与平面ADD₁A₁所成的角；然后通过求边长即可求出D₁O与平面ADD₁A₁所成的角的余弦值．

解答：解：设AB=2，作OE⊥AD于E；则E为AD的中点，
因为正方体中平面ABCD⊥平面ADD₁A₁，

且平面ABCD∩平面ADD₁A₁=AD，
所以：OE⊥平面ADD₁A₁；
故∠OD₁E即为OD₁与平面ADD₁A₁所成的角．
因为：D₁E=

DD 1 2+DE 2

=

5

，D₁O=

DD 1 2+DO 2

=

2 2+(  2) 2

=

6

．
所以在RT△OD₁E中，cos∠OD₁E=

D 1E

D 1O

=

5

6

=

30

6

．
即D₁O与平面ADD₁A₁所成的角的余弦值为

30

6

．
故选D．

点评：本题主要考查直线和平面所成的角以及求线面角的过程：作、证、求．解题时要认真体会将线面角问题转化为求线线角问题．