Question

已知过点A（0，1），且方向向量为

a

=(1，k)的直线l与⊙C：（x-2）²+（y-3）²=1，相交于M、N两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求证：

AM

•

AN

=定值；
（3）若O为坐标原点，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）用点斜式写出直线l的方程，由圆心到直线的距离小于圆的半径列出不等式，解出实数k的取值范围．
（2）由弦长公式可得 AT² =7，又 AT² =AM•AN，

AM

 与

AN

共线且方向相同，化简

AM

•

AN

．
（3）设出M，N两点的坐标，把直线l的方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，把根与系数的
关系代入

OM

•

ON

=12 的式子进行化简，解方程求出k的值．

解答：解：（1）∵直线l过点（0，1）且方向向量

a

=(1，k)，∴直线l的方程为y=kx+1（2分）
由

|2k-3+1|

k2+1

＜1，得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

 （4分）

（2）设⊙C的一条切线为AT，T为切点，则由弦长公式可得 AT² =7，
∴

AM

•

AN

=|

AM

||

AN

|cos0°=AT2=7，∴

AM

•

AN

为定值．（8分）
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），将y=kx+1代入方程 （x-2）²+（y-3）²=1 得
（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，（10分）
∴x1+x2=

4(1+k )

1+k2

，x1x2=

7

1+k2

．
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=

4k(1+k)

1+k2

+8=12，
∴

4k(1+k)

1+k2

=4，解得k=1，又当k=1时，△＞0，∴k=1（13分）

点评：本题考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，两个向量的数量积的定义，一元二次方程根与系数的关系．