Question

已知过点A（0，1）的直线l，斜率为k，与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N两个不同点．
（1）求实数k取值范围；
（2）若O为坐标原点，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）设直线l方程为：y=kx+1，与圆C的方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根的判别式建立关于k的不等式，解之即得实数k取值范围；
（2）由向量数量积的坐标公式，结合一元二次方程根与系数的关系，建立关于k的方程，解之即得实数k的值．

解答：解：（1）由题意，设直线l方程为y=kx+1，
与圆C的方程消去y，得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0…（*）
∵直线l与圆C相交于M、N两个不同点．
∴△=16（1+k）²-28（1+k²）＞0，解此不等式得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

…（6分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
根据（1）的（*），得x₁+x₂=

4+4k

1+k2

，x₁x₂=

7

1+k2

∵

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
∴

OM

•

ON

=12即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

4k(k+1)

1+k2

+8=12
解之得k=1，符合

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

，得k的值为1．　　　　　　　　　　　　　  …（12分）

点评：本题在直角坐标系中，根据直线与圆的位置求参数k的取值范围，并在已知向量数量积的情况下求k的值，着重考查了直线与圆相交的性质和向量数量积的坐标公式等知识，属于基础题．