Question

已知过点A（0，1）斜率为k的直线l与圆（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点．
①求实数k的取值范围；
②求线段MN的中点轨迹方程；
③求证：

AM

•

AN

为定值；
④若O为坐标原点，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：①根据条件写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，由相切得到d等于圆的半径r，根据圆的半径等于1列出关于k的方程，求出k的值，然后根据直线与圆的位置关系即可写出直线与圆有两个交点时k的取值范围；
②把直线l的方程与圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式即可用k表示出x，同理用k表示出y，即可得到MN中点的轨迹方程；
③分别根据坐标表示出

AM

和

AN

，然后利用平面向量的数量积运算法则求出值为定值即可；
④分别用坐标表示出

OM

和

ON

，然后利用

OM

•

ON

=12列出关于k的方程，求出k的值即可．

解答：解：①过点A（0，1）斜率为k的直线l的方程为：y=kx+1，
当直线l与圆相切时，圆心（2，3）到直线l的距离d=

|2k-2|

1+k2

=r=1，化简得3k²-8k+3=0，解得：k=

4± 7

3

，
因为直线l与圆相交于M，N两点，所以实数k的取值范围为：

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

；
②把直线方程与圆方程联立得

y=kx+1 (x-2)2+(y-3)2=1

，消去y得到（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁和x₂为（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0的两个根，
则MN中点横坐标x=

x1+x2

2

=

2(1+k)

1+k2

，同理消去x得到关于y的一元二次方程（1+k²）y²-（2+4k+6k²）y+12k²+4k+1=0，
得到纵坐标y=

y1+y2

2

=

1+2k+3k2

1+k2

，
则线段MN的中点轨迹方程为：

x= 2(1+k) 1+k2 y= 1+2k+3k2 1+k2

；
③

AM

=（x₁，y₁-1），

AN

=（x₂，y₂-1），所以

AM

•

AN

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂=7为常数．
④

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

7

1+k2

+

12k2+4k+1

1+k2

=12，即12k²+4k+8=12（1+k²），解得k=1．

点评：本题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式及韦达定理化简求值，灵活运用中点坐标公式及整体代换化简求值，掌握平面向量的数量积运算法则，是一道综合性较强的题．