Question

12．已知椭圆C两焦点坐标分别为F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），一个顶点为A（0，-1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，满足|AM|=|AN|．则线段MN的中点的纵坐标是否为定值？若不为定值，请说明理由，若为定值，请求出该定值．
变式：若斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，线段MN的中点是否在一条定直线上？

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），求得c，b，可得a，进而得到椭圆方程；
（2）假设存在斜率为k（k≠0）的直线l，使直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，满足|AM|=|AN|．设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程x²+3y²=3，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得中点P的坐标，再由AP垂直于MN，运用斜率之积为-1，求得1+3k²=2t，即可得到定值；
变式：由中点坐标，写出参数方程的形式，t为参数，两式相除消去t，可得定直线．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=$\sqrt{2}$，b=1，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）假设存在斜率为k（k≠0）的直线l，
使直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，满足|AM|=|AN|．
设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程x²+3y²=3，
可得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
判别式为36k²t²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$，MN的中点P的坐标为（-$\frac{3kt}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{t}{1+3{k}^{2}}$），
由|AM|=|AN|可得AP⊥MN，即k_AP=-$\frac{1}{k}$，
可得$\frac{t+1+3{k}^{2}}{-3kt}$=-$\frac{1}{k}$，即有1+3k²=2t，代入判别式大于0成立．
MN的中点P的纵坐标为$\frac{t}{2t}$=$\frac{1}{2}$，为定值．
变式：由（2）可得MN的中点P的坐标为（-$\frac{3kt}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{t}{1+3{k}^{2}}$），
即有$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3kt}{1+3{k}^{2}}}\\{y=\frac{t}{1+3{k}^{2}}}\end{array}\right.$，消去t，可得y=-$\frac{1}{3k}$x，
故线段MN的中点在一条定直线y=-$\frac{1}{3k}$x上．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用焦点和顶点坐标，考查定值和定直线的问题的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．