Question

2．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点$（1，\frac{3}{2}）$，其长轴的左右两个端点分别为A，B，直线l：y=$\frac{3}{2}$x+m交椭圆于两点C，D．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线AD，CB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁：k₂=2：1，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点$（1，\frac{3}{2}）$，列出方程组，求出a，b，c，由此能求出椭圆方程．
（II）联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得3x²+3mx+m²-3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}={b^2}+{c^2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1}\end{array}}\right.$，（2分）
解得$a=2，b=\sqrt{3}，c=1$，（4分）
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．（5分）
（II）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得3x²+3mx+m²-3=0①，
∴判别式△=（3m）²-12（m²-3）=-3m²+36＞0，解得m²＜12，（7分）
∵x₁，x₂为①式的根，∴${x_1}+{x_2}=-m，{x_1}{x_2}=-\frac{{{m^2}-3}}{3}$，（8分）
由题意知A（-2，0），B（2，0），∴${k_{AD}}={k_1}=\frac{y_2}{{{x_2}+2}}，{k_{BC}}={k_2}=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}$．
∵k₁：k₂=2：1，即$\frac{{{y_2}（{x_1}-2）}}{{{y_1}（{x_2}+2）}}=\frac{2}{1}$，得$\frac{{y_2^2{{（{x_1}-2）}^2}}}{{y_1^2{{（{x_2}+2）}^2}}}=4$②，
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1$，∴${{y}_{1}}^{2}=\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）$，同理${{y}_{2}}^{2}=\frac{3}{4}（4-{{x}_{2}}^{2}）$，（10分）
代入②式，解得$\frac{（2-{x}_{2}）（2-{x}_{1}）}{（2+{x}_{1}）（2+{x}_{2}）}$=4，即10（x₁+x₂）+3x₁x₂+12=0，
∴10（-m）+m²-3+12=0，解得m=1或m=9，
又∵m²＜12，∴m=9（舍去），∴m=1．（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线方程的合理运用．