Question

11．已知三棱锥三视图如图所示，其中俯视图是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，则该几何体的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{16π}{3}$
• B． $\frac{32π}{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 16π

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可得正视图底边对应棱的中点，到三棱锥各个顶点的距离相等，进而求出球半径，可得表面积．

解答 解：由已知中的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：

取AB的中点F，AF的中点E，
由三视图可得：AB垂直平面CDE，且平面CDE为$\sqrt{3}$的正三角形，AB=1+3=4，
∴AF=BF=2，EF=1，
∴CF=DF=$\sqrt{{1}^{2}+{\sqrt{3}}^{2}}$=2，
故F即为棱锥外接球的球心，半径R=2，
故外接球的体积S=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{22}{3}$π，
故选：B

点评 本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．