Question

6．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．

年龄分组	A项培训成绩优秀人数	B项培训成绩优秀人数
[20，30）	30	18
[30，40）	36	24
[40，50）	12	9
[50，60]	4	3

（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；
（2）求全校教师的平均年龄；
（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图能求出从年龄段[20，30）抽取的人数．
（2）由频率分布直方图能求出全校教师的平均年龄．
（3）由题设知X的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望．

解答 解：（1）由频率分布直方图知，0.35×40=14．…（2分）
（2）由频率分布直方图得：
全校教师的平均年龄为：
25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35．…（4分）
（3）∵在年龄段[20，30）内的教师人数为120×0.35=42（人），从该年龄段任取1人，
由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为$\frac{30}{42}=\frac{5}{7}$，
B项培训结业考试成绩优秀的概率为$\frac{18}{42}=\frac{3}{7}$，
∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为$\frac{5}{7}×\frac{3}{7}=\frac{15}{49}$，…（6分）
∵在年龄段[30，40）内的教师人数为120×0.4=48（人），
从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为$\frac{36}{48}=\frac{3}{4}$，
B项培训结业考试成绩优秀的概率为$\frac{24}{48}=\frac{1}{2}$，
∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$…（8分）
由题设知X的可能取值为0，1，2．
∴$P（X=0）=（1-\frac{15}{49}）（1-\frac{3}{8}）=\frac{85}{196}，P（X=1）=\frac{15}{49}×（1-\frac{3}{8}）+（1-\frac{15}{49}）×\frac{3}{8}=\frac{177}{392}$，
$P（X=2）=\frac{15}{49}×\frac{3}{8}=\frac{45}{392}$，…（10分）
∴X的概率分布为

X	0	1	2
P	$\frac{85}{196}$	$\frac{177}{392}$	$\frac{45}{392}$

X的数学期望为$EX=0×\frac{85}{196}+1×\frac{177}{392}+2×\frac{45}{392}=\frac{267}{392}$…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件乘法公式的合理运用．