Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆的右焦点F（c，0），椭圆的右顶点为A，上顶点为B，原点到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）判断在x轴上是否存在异于F的一点G，满足过点G且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，N、F、P三点共线，若存在，求出点G坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）在x轴上假设存在异于F的一点G，设为（n，0），设直线l的方程为y=k（x-n），代入椭圆方程x²+2y²=2，运用韦达定理，以及三点共线的条件：斜率相等，化简整理，可得n=2，进而判断存在G（2，0）．

解答 解：（I）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直线AB的方程为bx+ay=ab，
由题意可得$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）在x轴上假设存在异于F的一点G，设为（n，0），
设直线l的方程为y=k（x-n），代入椭圆方程x²+2y²=2，
可得（1+2k²）x²-4nk²x+2k²n²-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{4n{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由假设可得P（x₁，-y₁），F（1，0），N（x₂，y₂）三点共线，可得
k_PN=k_NF，即$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$，
由y₁=k（x₁-n），y₂=k（x₂-n），可得
（x₁+x₂-2n）（x₂-1）=（x₂-x₁）（x₂-n），
化简为（n+1）（x₁+x₂）-2x₁x₂-2n=0，
即有（n+1）•$\frac{4n{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2•$\frac{2{k}^{2}{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-2n=0，
化简可得n=2，
代入判别式可得2k²＜1，故存在异于F的一点G，且为（2，0），
使N、F、P三点共线．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点到直线的距离公式，考查存在性问题的解法，注意运用直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．