Question

8．已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）求实数k，使（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-$\frac{3}{2}$；
（2）求使$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2的值为整数的实数k的整数值；
（3）若k=-2，λ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，试求λ的值．

Answer 1

分析 （1）先利用韦达定理求出x₁，x₂的关系，再化简，将其代入，即可求得k的值，
（2）同分，再将原式写成含有x₁+x₂和x₁•x₂的形式，
（3）将k=-2代入，求得x₁和x₂的值，再求λ．

解答 解：（1）已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根，
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{-4k}{4k}=1$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{k+1}{4k}$；
（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=$2{x}_{1}^{2}-5{x}_{1}{x}_{2}+2{x}_{2}^{2}$=2${（x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-9{x}_{1}{x}_{2}$，
则原式=$2-9×\frac{k+1}{4k}$=$-\frac{3}{2}$，
解得：k=$\frac{9}{5}$；
（2）$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2
=$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}-2$
=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}-2$
=$\frac{4k}{k+1}-4$
=$\frac{4}{k+1}$；
k为整数时，则k的取值为3，1，0，-2，-3，-5；
（3）k=-2，代入，方程化为：8x²+8x-1=0；
${x}_{1，2}=\frac{2±\sqrt{2}}{4}$，
λ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$=$3+2\sqrt{2}$，
λ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$=$3-2\sqrt{2}$，
故λ=3±2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考察利用韦达定理进行化简求值，属于中档题．