Question

14．某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：
（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；
（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x，推导出0.40×（5-x）+0.20×1=0.5，由此能求出该运动员到篮筐的水平距离的中位数．
（2）由频率分布直方图得投篮命中时距离篮筐距离超过4米的概率为p=$\frac{3}{5}$，随机变量ξ的所有可能取值为-4，-2，0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（I） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x，
∵0.05×2+0.10+0.20＜0.5，且（0.40+0.20）×1=0.6＞0.5，
∴x∈[4，5]…（2分）
由0.40×（5-x）+0.20×1=0.5，解得x=4.25，
∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4.25（米）．
（Ⅱ）由频率分布直方图得投篮命中时距离篮筐距离超过4米的概率为p=$\frac{3}{5}$，
随机变量ξ的所有可能取值为-4，-2，0，2，4，…（8分）
$P（{X=-4}）={（{\frac{2}{5}}）^4}=\frac{16}{625}$，
$P（X=2）=C_4^3{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{216}{625}$，
$P（X=-2）=C_4^1{（\frac{2}{5}）^3}（\frac{3}{5}）=\frac{96}{625}$，
$P（X=0）=C_4^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^2}=\frac{216}{625}$，
$P（X=2）=C_4^3{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{216}{625}$，
$P（{X=4}）={（{\frac{3}{5}}）^4}=\frac{81}{625}$，
∴X的分布列为：

X	-4	-2	0	2	4
P	$\frac{16}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{81}{625}$

EX=（-4）×$\frac{16}{625}$+（-2）×$\frac{96}{625}$+0×$\frac{216}{625}$+2×$\frac{216}{625}$+4×$\frac{81}{625}$=$\frac{4}{5}$．…（12分）

点评 本题考查中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．