Question

已知x＞0，y＞0，满足x+y-2xy+4=0，求xy最小值和x+y的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由于x＞0，y＞0，可得x+y≥2

xy

，xy≤(

x+y

2

)2．再利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2

xy

，xy≤(

x+y

2

)2．
∵满足x+y-2xy+4=0，即x+y+4=2xy．
∴①x+y+4=2xy≤2×(

x+y

2

)2，
令t=x+y，化为t²-2t-8≥0，解得t≥4或t=-2（舍），即x+y≥4，
当且仅当x=y=2时取等号．
因此x+y的最小值为4．
②2xy=x+y+4≥2

xy

+4，
化为(

xy

)2-

xy

-2≥0，解得

xy

≥2，即xy≥4．
当且仅当x=y=2时取等号．
因此xy的最小值为4．

点评：本题考查了基本不等式的性质和一元二次不等式的解法，属于中档题．