Question

2．已知抛物线x²=2py（p＞0），O是坐标原点，点A，B为抛物线C₁上异于O点的两点，以OA为直径的圆C₂过点B．
（I）若A（-2，1），求p的值以及圆C₂的方程；
（Ⅱ）求圆C₂的面积S的最小值（用p表示）

Answer 1

分析 （I）把A代入抛物线方程即可求出p，计算OA的中点及|OA|得出圆的圆心和半径，从而得出圆的方程；
（II）设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$），根据$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=0得出x₁，x₂的关系，利用基本不等式求出|OA|²的最小值，从而得出圆C₂的最小面积．

解答 解：（I）∵A（-2，1）在抛物线x²=2py上，∴4=2p，即p=2．
∴圆C₂的圆心为（-1，$\frac{1}{2}$），半径r=$\frac{|OA|}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴圆C₂的方程为（x+1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$．
（II）设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$），则$\overrightarrow{OB}$=（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁，$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{2p}$）．
∵OA是圆C₂的直径，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=0，即x₂（x₂-x₁）+$\frac{{{x}_{2}}^{2}（{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}）}{4{p}^{2}}$=0，
∵x₂≠0，x₁≠x₂，∴x₂²+x₁x₂=-4p²．∴x₁=-（x₂+$\frac{4{p}^{2}}{{x}_{2}}$）．
∴x₁²=x₂²+$\frac{16{p}^{4}}{{{x}_{2}}^{2}}$+8p²≥16p²．当且仅当x₂²=$\frac{16{p}^{4}}{{{x}_{2}}^{2}}$即x₂²=4p²时取等号．
∴|OA|²=x₁²+$\frac{{{x}_{1}}^{4}}{4{p}^{2}}$≥16p²+$\frac{256{p}^{4}}{4{p}^{2}}$=80p²．
∴圆C₂的面积S=π•$\frac{|OA{|}^{2}}{4}$≥20πp²．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，向量的应用，属于中档题．