若A.B.C是三角形ABC的三个内角.求证:cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．若A，B，C是三角形ABC的三个内角，求证：cos²A+cos²B+cos²C+2cosAcosBcosC=1．

分析根据C=π-B-A将cosC化为角B、A的关系即可证

解答（2）∵cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB．
∴cos²A+cos²B+cos²C+2cosAcosBcosC
=cos²A+cos²B+cos²Acos²B+sin²Asin²B-2cosAcosBsinAsinB+2cosAcosBcosC
=cos²A+cos²B+cos²Acos²B+（1-cos²A）（1-cos²B）-2cosAcosBsinAsinB+2cosAcosBcosC
=1-2[cos²Acos²B-cosAcosBsinAsinB]+2cosAcosBcosC
=1-2cosAcosB（cosAcosB-sinAsinB）+2cosAcosBcosC
=1-2cosAcosBcos（A+B）+2cosAcosBcosC
=1-2cosAcosBcos[π-（A+B）]+2cosAcosBcosC
=1-2cosAcosBcosC+2cosAcosBcosC
=1．

点评本题主要考查三角函数的基本关系式．这里要注意的试在三角形中三个角的和为π，经常通过一个角等于π减另外两个角来转化

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D．

（-∞，0]∪[2，+∞）

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