Question

3．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y²=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则$\frac{b}{a}$=1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出F点坐标，代入抛物线方程即可得出a，b的关系得到关于$\frac{b}{a}$的方程，从而解出$\frac{b}{a}$．

解答 解：∵D是抛物线y²=2ax的焦点，∴D（$\frac{a}{2}$，0）．
∵正方形DEFG的边长为b，∴F（$\frac{a}{2}+b$，b）．
∵F在抛物线上，∴b²=2a（$\frac{a}{2}+b$），即b²-2ab-a²=0，
∴（$\frac{b}{a}$）²-$\frac{2b}{a}$-1=0，解得$\frac{b}{a}$=1+$\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}$．
∵0＜a＜b，∴$\frac{b}{a}$=1+$\sqrt{2}$．
故答案为：$1+\sqrt{2}$

点评 本题考查了抛物线的性质，换元法思想，属于中档题．